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从惊讶到思考—数学悖论奇景
M:琼斯先生和琼斯太大有五个孩子,都是女儿。

琼斯太大:我希望我们下一个孩子不是女孩。

先生:我亲爱的,在生了五个女儿之后,下一个肯定是儿子。

M:琼斯先生对吗?
 

 M:很多玩轮盘赌的赌徒以为,他们在盘子转过很多红色数字之后,就会落在黑的上,他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗?
 

 M:埃德加·阿兰·坡坚持认为,如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点,你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。他说得对不对呢?
 

 M:如果你对任何这类问题回答说“对”,你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时,每掷一次都与以前掷出的点数完全无关。
 

 M:琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是1/2。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。掷骰子时,下一次掷出2的概率仍然是1/6。
 

 M:为了让问题更明朗,假定一个男孩扔硬币,扔了五次国徽向上。这时再扔一次,国徽向上的概率还是完全与以前一样:一半对一半,钱币对于它过去的结果是没有记忆的。
 

如果事件A的结果影响到事件B,那么就说B是“依赖”于A的。例如,你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。

大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如,第一次世界大战期间,前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险,因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为,看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点,这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。

有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹,他又进一步推论,一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实,他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率,这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已。

所有轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统,它正是以赌徒未能认识到独立事件的独立性这一“赌徒谬误”为基础的。参与者赌红色或黑色(或其他任何一个对等赌金的赌),每赌失败一次就加大赌数,每赌赢一次就减少赌数。他们猜想,如果小小的象牙球让他赢了,那么就会有某种原因“记住”它,不太可能让他在下一次再赢;如果小球使他输了,这将感到抱歉,很可能帮助他在下一次赢。

事实是每一次旋转,轮盘都与以前旋的结果无关,这就十分简单地证明了,任何一个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多。约翰·斯卡恩在他的“赌博大全”一书中写道:“当你象一般组织好的赌赛中常有的情况,你要因赌场主设赌而给他一定百分比的钱,故你赢的机会就如数学家所说的是负的期望。当你使用一种赌博系统时,你总要赌好多次,而每一次都是“负的期望”。绝无办法把这种负期望加成正的……“

埃德加·阿伦·坡写的骰子的笑话出在他的侦探故事的跋中,题为“玛丽·罗杰特之谜”。一粒骰子,一枚硬币,一个赌盘,或者任何一种随机装置,都会产生一系列独立事件,这些事件无论如何也不会受到这种装置过去状态的影响。如果你们总愿意相信某种赌徒谬误,那么一个有意义的课堂活动就是假装玩一次实际的以赌徒谬误为基础的赌博游戏。比如,一个学生可以反复抛掷硬币,只是在同一面出现三次之后,才与另一学生用扑克牌作筹码打赌。他总是赌硬币相反的那一面。换句话说,就是在三次出现国徽之后,他赌字;在三次出现字之后,他赌国徽。末了,比如说赌了50次,这时他手中的牌数绝不会正好与开始时一样多,但应该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的。

2014年01月26日 09:07:15     


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